Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將長(zhǎng)為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)．如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動(dòng)到A止，同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動(dòng)到B止，在這個(gè)過程中，線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積記為S．點(diǎn)N是正方形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，把N點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的距離均不小于1的概率記為P，則S=（ ）

A．（4-π）P
B．4（1-P）
C．4P
D．（π-1）P

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知：點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為1，故點(diǎn)M所走的運(yùn)動(dòng)軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四個(gè)扇形，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4個(gè)扇形的面積，求得概率P，用P表示所求的面積即可．
解答：解：正方形ABCD的面積為2×2=4，4個(gè)扇形的面積為4π×=π，
∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為4-π．
∵N點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的距離均不小于1的概率記為P，
∴P=，
∴4-π=4P，
∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為4P．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查概率，有關(guān)面積的計(jì)算；得到點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．