Question

如圖，已知矩形ABCD的面積為1．A₁、B₁、C₁、D₁分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為S₁，A₂、B₂、C₂、D₂分別為A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中點(diǎn)，四邊形A₂B₂C₂D₂的面積記為S₂，…，依此類(lèi)推，第n個(gè)四邊形A_nB_nC_nD_n的面積記為S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

分析：首先探求四邊形A₁B₁C₁D₁的面積和矩形ABCD的面積關(guān)系：連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理，得A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，則△AA₁D₁∽△ABD，且面積比是

1

4

，進(jìn)而得到四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為矩形ABCD的面積的一半，即

1

2

．推而廣之，則S_n=(

1

2

)n．

解答：解：連接BD．
根據(jù)三角形的中位線定理，得
A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，
∴△AA₁D₁∽△ABD，且面積比是

1

4

．
∴四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為矩形ABCD的面積的一半，即

1

2

．
推而廣之，則S_n=(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：此題主要是運(yùn)用了三角形的中位線定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．