如圖,直角三角形ABC中,D是斜邊AB的中點,MB⊥AB,MD交AC于N;MC的延長線交AB于E.證明:∠DBN=∠BCE.
考點:四點共圓
專題:證明題
分析:首先延長ME交△ABC的外接圓于F,延長MD交AF于K,作CG∥MK,交AF于G,交AB于P,作DH⊥CF于H,連接HB、HP,得出點D、H、B、M共圓,進而得出即PH為△CFG的中位線,AP為△ACG的邊CG上的中線,得出四邊形NAKB為平行四邊形,則∠DBN=∠DAK,而∠DAK=∠BAF=∠BCF=∠BCE,即可得出答案.
解答:證明:如圖,延長ME交△ABC的外接圓于F,延長MD交AF于K,作CG∥MK,交AF于G,交AB于P,作DH⊥CF于H,
則H為CF的中點,
連接HB、HP,則點D、H、B、M共圓,
故∠HBD=∠HMD=∠HCP,于是H、B、C、P共圓,
∴∠PHC=∠ABC=∠AFC,故PH∥AF,
即PH為△CFG的中位線,P是CG的中點,
則AP為△ACG的邊CG上的中線,
又∵NK∥CG,
故D是NK的中點,即線段AB與NK互相平分,
∴四邊形NAKB為平行四邊形,
∴∠DBN=∠DAK,而∠DAK=∠BAF=∠BCF=∠BCE,
即有∠DBN=∠BCE.
點評:此題主要考查了四點共圓以及平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)與判定,作出正確輔助線,利用四點共圓的性質(zhì)得出是解題關鍵.
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