Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P為BA延長線上一點，PC為⊙O的切線，C為切點，BD⊥PC，垂足為D，交⊙O于E，連接AC、BC、EC．
（1）求證：BC²=BD•BA；
（2）若AC=6，DE=4，求PC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證：BC²=BD•BA，可以轉(zhuǎn)化為求證Rt△BDC∽Rt△BCA的問題；
（2）求PC的長，根據(jù)切割線定理得到PC²=PA•PB，可以轉(zhuǎn)化為求AP，PB的問題，根據(jù)Rt△CED∽Rt△BAC和△PCA∽△PBC就可以求出．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∵PC為⊙O的切線，
∴∠BCD=∠BAC，（1分）
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=∠BCA=90，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA，（1分）
∴，
∴BC²=BD•BA．（1分）

（2）解：∵Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴∠DBC=∠CBA，
∴EC=AC，
∴EC=AC=6，
∵∠DBC=∠CBA，
∴∠DCE=∠CBA，
∴Rt△CED∽Rt△BAC，
∴，
∴AB=9，（1分）
由勾股定理得，
∵∠PCA=∠PBC，∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴，（1分）
設(shè)PA=6m，則PC=m，
由切割線定理得PC²=PA•PB，
∴45m²=6m（6m+9），
解得m=6，
∴PC=．（1分）
點評：命題立意：此題作為壓軸題，綜合考查圓的切線，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識．此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質(zhì)．