Question

有n個(gè)數(shù)，第一記為a₁，第二個(gè)記為a₂，…，第n個(gè)記為a_n，若a₁=

1

2

，且從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)”．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請猜想并寫出a₂₀₀₄，a₂₀₀₅，a₂₀₀₆的值．
（3）計(jì)算：a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₄•a₂₀₀₅•a₂₀₀₆．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)”進(jìn)行計(jì)算，分別求出a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果得出規(guī)律：每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，而求出a₂₀₀₄，a₂₀₀₅，a₂₀₀₆的值；
（3）通過計(jì)算出a₁•a₂•a₃的值為-1，結(jié)合（1）得出的規(guī)律計(jì)算出要求的值．

解答：解：（1）由從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)”得：
a₂=1÷（1-

1

2

）=2，
a₃=1÷（1-2）=-1，
a₄=1÷（1+1）=

1

2

，

（2）由（1）得出的結(jié)果得：每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，
2004÷3=668，
∴a₂₀₀₄=a₃=-1，
則a₂₀₀₅=a₁=

1

2

，
a₂₀₀₆=a₂=2；

（3）∵a₁•a₂•a₃=

1

2

×2×（-1）=-1，
∴每一個(gè)循環(huán)的3個(gè)數(shù)的積為-1，
而2006÷3=668余2，
∴a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₄•a₂₀₀₅•a₂₀₀₆等于68個(gè)（-1）的積×

1

2

×2，
即1×

1

2

×2=1，
∴a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₄•a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=1．

點(diǎn)評：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)字的變化類問題，關(guān)鍵是通過計(jì)算得出規(guī)律，然后按規(guī)律求解．