Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，cos∠ABC=，OB=4．
（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：△AOC∽△COB；
（3）求經(jīng)過點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OB=4求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再由cos∠ABC=可求出BC的長，在Rt△OBC中利用勾股定理可求出OC的長，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)∠ACB=90°可知∠ACO+∠BCO=90°，再由∠OBC+∠BCO=90°可得出∠ACO=∠OBC，由∠AOC=∠BOC=90°即可得出結(jié)論；
（3）由（2）中△AOC∽△COB可知=，由此可求出AO的長，故可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求出過ABC三點(diǎn)的拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，OB=4，
∴B（4，0），
∵cos∠ABC=，
∴==，解得BC=5，
在Rt△OBC中，
∵OB²+OC²=BC²，即4²+OC²=5²，解得x=3，
∴C（0，-3）；

（2）證明：∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCO=90°
又∵∠OBC+∠BCO=90°
∴∠ACO=∠OBC                                    
又∵∠AOC=∠BOC=90°
∴△AOC∽△COB；

（3）∵△AOC∽△COB
∴=，
∴AO==
∴A（，O）                                              
∵A（，O），B（4，0），
∴設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=a（x-）（x-4），
把點(diǎn)C（0，-3）代入得，9a=-3，解得a=-，
故經(jīng)過點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式為：y=-x²+x-3．
點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識，難度適中．