Question

（2009•資陽(yáng)）如圖1，已知O是銳角∠XAY的邊AX上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心、R為半徑的圓與射線AY切于點(diǎn)B，交射線OX于點(diǎn)C，連接BC，作CD⊥BC，交AY于點(diǎn)D．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一點(diǎn)，AP=4，且sinA=，
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)P重合時(shí)，求R的值；
②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)P不重合時(shí)，試求PD的長(zhǎng)（用R表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABO=90°，易證∠ABC=∠ACD，從而根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等得到兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)（1）中的相似三角形得到對(duì)應(yīng)邊的比相等，再結(jié)合銳角三角函數(shù)的概念，把AD用R表示，①根據(jù)AD=AP求得R的值；②應(yīng)分兩種情況討論，點(diǎn)D可能在點(diǎn)P的左側(cè)或右側(cè)．
解答：（1）證明：由已知，CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于點(diǎn)B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：由已知，sinA=，
又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO==R，AB==R．
∴AC=R+R=R．
由（1）已證，△ABC∽△ACD，
∴．
∴．
因此AD=R．
①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)P重合時(shí)，AD=AP=4，
∴R=4．
∴R=．
②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)P不重合時(shí)，有以下兩種可能：
（i）若點(diǎn)D在線段AP上（即0＜R＜），PD=AP-AD=4-R，
（ii）若點(diǎn)D在射線PY上（即R＞），PD=AD-AP=R-4，
綜上，當(dāng)點(diǎn)D在線段AP上（即0＜R＜）時(shí)，PD=4-R，
當(dāng)點(diǎn)D在射線PY上（即R＞）時(shí)，PD=R-4，
又當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)P重合（即R=）時(shí)，PD=0，故在題設(shè)條件下，總有PD=|R-4|（R＞0）．
點(diǎn)評(píng)：此題要能夠熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)定理、相似三角形的性質(zhì)和判定．