Question

（2011•溫州一模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)B為直徑畫(huà)圓M，過(guò)D作⊙M的切線(xiàn)，切點(diǎn)為N，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知AE=5，CE=3，則DF的長(zhǎng)是

4.8

．

Answer 1

分析：延長(zhǎng)EF，過(guò)B作直線(xiàn)平行AC和EF相交于P，先根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分得出OE=1，利用△DMN∽△DEO及MN=

1

3

DM，得出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用中位線(xiàn)定理得出EP的長(zhǎng)，再由△EFC∽△PFB，相似比是3：2，可得出EF的長(zhǎng)，從而根據(jù)DF=DE+EF可求出DF的長(zhǎng)度．

解答：解：延長(zhǎng)EF，過(guò)B作直線(xiàn)平行AC和EF相交于P，
∵AE=5，EC=3，
∴AO=CE+OE，即有，OE=EN=1，
又∵△DMN∽△DEO，且MN=

1

3

DM，
∴DE=3OE=3，
又∵OE∥BP，O是DB中點(diǎn)，所以E也是中點(diǎn)，
∴EP=DE=3，
∴BP=2，
又∵△EFC∽△PFB，相似比是3：2，
∴EF=EP×

3

5

=1.8，
故可得DF=DE+EF=3+1.8=4.8．
故答案為：4.8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，及切線(xiàn)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線(xiàn)，求出OE、DE的長(zhǎng)，進(jìn)而綜合利用三角形的中位線(xiàn)定理求出EP，難度較大．