Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和B（t，0）（t≥2），與y軸交于點(diǎn)C，直線l：y=x+2t經(jīng)過點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，直線AE交拋物線于點(diǎn)E，且有∠CAE=∠CDO，作CF⊥AE于點(diǎn)F．

（1）求∠CDO的度數(shù)；
（2）求出點(diǎn)F坐標(biāo)的表達(dá)式（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)S△COD﹣S四邊形COAF=7時(shí)，求拋物線解析式；
（4）當(dāng)以B，C，O三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEF相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線l：y=x+2t與y軸點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，

∴C（0，2t），D（﹣2t，0）

∴OC=OD，

∵∠COD=90°，

∴∠CDO=∠DCO=45°．

（2）

解：如圖1，作FG⊥x軸于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥y軸于點(diǎn)H，

∵∠HOG=∠OGF=∠FHO=90°，

∴四邊形OGFH是矩形

∴∠HFG=90°，

∴∠HFA+∠AFG=90°

又∵CF⊥AE，

∴∠CFH+∠HFA=90°

∴∠CFH=∠AFG，

又∵∠CAE=∠CDO=45°，

∴∠FCA=45°，

∴CF=AF，

又∵∠FGA=∠CHF=90°，

在△FGA和△FHC中，

∴△FGA≌△FHC，

∴FH=FG，HC=AG，

設(shè)F（m，m）

則2t﹣m=m﹣2，

得m=t+1，

∴F（t+1，t+1）．

（3）

解：∵S△COD﹣S四邊形COAF=S△COD﹣S正方形HOGF=7

∴ =7，

解得：t=4或﹣2（舍去），

則A點(diǎn)坐標(biāo)（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)（0，8）

設(shè)y=a（x﹣2）（x﹣4），

把C（0，8）代入y=a（x﹣2）（x﹣4），

解得a=1，

∴y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8．

（4）

解：t=3或2．

如圖2，作ET⊥HF于T，

求得：E的橫坐標(biāo)是 ，CH=t﹣1，F(xiàn)T= ，

由△HCF∽△TFE，

則 ，

得：

當(dāng)△OBC∽△FEC時(shí)， =2，

即 =2，

解得：t=3或t=﹣1（ 舍去），

當(dāng)△OBC∽△FCE時(shí)， ，

即 ，

解得：t=2或t=0（舍去）．

∴t=3或2．

【解析】（1）求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，得到OC=OD，即可解答；（2）如圖1，作FG⊥x軸于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥y軸于點(diǎn)H，利用已知條件證明△FGA≌△FHC，得到FH=FG，HC=AG，設(shè)F（m，m）則2t﹣m=m﹣2，求出m的值，即可解答；（3）如圖2，作ET⊥HF于T，分別得到E的橫坐標(biāo)是 ，CH=t﹣1，F(xiàn)T= ，再由△HCF∽△TFE，得到 ，即 ，分類討論：當(dāng)△OBC∽△FEC時(shí)；當(dāng)△OBC∽△FCE時(shí)；求出t的值，即可解答．