【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為8cm,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動點,且AE=BF=CG=DH.

(1)求證:四邊形EFGH是正方形
(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點,并說明理由
(3)求四邊形EFGH面積的最小值.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,

∵AE=BF=CG=DH,

∴AH=BE=CF=DG,

在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中,

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS),

∴EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,

∴四邊形EFGH是菱形,

∵∠BEF+∠BFE=90°,

∴∠BEF+∠AEH=90°,

∴∠HEF=90°,

∴四邊形EFGH是正方形


(2)

解:直線EG經(jīng)過一個定點,這個定點為正方形的中心(AC、BD的交點);理由如下:

連接AC、EG,交點為O;如圖所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB∥CD,

∴∠OAE=∠OCG,

在△AOE和△COG中,

∠OAE=∠OCG

∠AOE=∠COG

AE=CG

∴△AOE≌△COG(AAS),

∴OA=OC,即O為AC的中點,

∵正方形的對角線互相平分,

∴O為對角線AC、BD的交點,即O為正方形的中心


(3)

解:設(shè)四邊形EFGH面積為S,設(shè)BE=xcm,則BF=(8﹣x)cm,

根據(jù)勾股定理得:EF2=BE2+BF2=x2+(8﹣x)2

∴S=x2+(8﹣x)2=2(x﹣4)2+32,

∵2>0,

∴S有最小值,

當(dāng)x=4時,S的最小值=32,

∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm2


【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,證出AH=BE=CF=DG,由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,得出EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,證出四邊形EFGH是菱形,再證出∠HEF=90°,即可得出結(jié)論;
(2)連接AC、EG,交點為O;先證明△AOE≌△COG,得出OA=OC,證出O為對角線AC、BD的交點,即O為正方形的中心;
(3)設(shè)四邊形EFGH面積為S,BE=xcm,則BF=(8﹣x)cm,由勾股定理得出S=x2+(8﹣x)2=2(x﹣4)2+32,S是x的二次函數(shù),容易得出四邊形EFGH面積的最小值.

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A.
B.
C.
D.12

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(1)當(dāng)m=﹣1,n=4時,k= ,b=。
當(dāng)m=﹣2,n=3時,k= ,b=;
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,用含m,n的代數(shù)式分別表示k與b,并證明你的結(jié)論;
(3)利用(2)中的結(jié)論,解答下列問題:
如圖②,直線AB與x軸,y軸分別交于點C,D,點A關(guān)于y軸的對稱點為點E,連接AO,OE,ED.
①當(dāng)m=﹣3,n>3時,求 的值(用含n的代數(shù)式表示);
②當(dāng)四邊形AOED為菱形時,m與n滿足的關(guān)系式為_____。
當(dāng)四邊形AOED為正方形時,m= , n=

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A.
B.
C.
D.

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