Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線l（l不與直線AB重合）與直線BC的夾角等于∠ABC，分別過(guò)點(diǎn)C、A做直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

①若∠ABC=30°，如圖①，則= ；

②∠ABC=45°，如圖②，則= ；

（2）拓展探究：

當(dāng)0°＜∠ABC＜90°，的值有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖③的情形給出證明．

（3）問(wèn)題解決：

若直線CE、AB交于點(diǎn)F，=，CD=4，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的值無(wú)變化，理由詳見(jiàn)解析；(3) 2或8．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AE，等量代換得到CD=AE，即可得到結(jié)論；②如圖②，推出△ACB是等腰直角三角形，求得∠CBD=45°，證得B與E重合，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=AE根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EF=CD，與得到結(jié)論；

（2）如圖③，延長(zhǎng)AC與直線L交于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BA=BG，證得CD∥AE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到；

（3）①當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，過(guò)C作CG∥l交AE于H，交AB于G，推出△CFG∽△EFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)CG=5x，BE=6x，則AB=10x，∵∠根據(jù)勾股定理得到AE=8x，由（2）得AE=2CD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到CH=CG+HG=8，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DE=CH=8，求得BD=DE=BE=2，②如圖⑤，當(dāng)點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥l交AE于點(diǎn)H，交AB于G，同理可得求得結(jié)論．

試題解析：（1）①∵CD⊥BD，

∴∠CDB=90°，

∵∠DBC=∠ABC=30°，

∴CD=BC，

在△ABE與△ABC中，

∠ACB=∠AEB=90°，∠BAE=∠ABC=30°，AB=BA，

∴△ABC≌△ABE，

∴BC=AE，

∴CD=AE，

∴=；

②如圖②，∵∠ABC=45°∠ACB=90°，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∵∠CBD=45°，

∴∠ABD=90°，

∵AE⊥BC，

∴B與E重合，

∴EF=AE，

∵CD⊥BD，

∴四邊形CDEF的矩形，

∴EF=CD，

∴CD=AE，

∴=；

故答案為：①；②；

（2）的值無(wú)變化，

理由：如圖③，延長(zhǎng)AC與直線L交于G，

∴∠ABC=∠CBG，

∵∠ACB=90°，

∴∠AGB=∠BAG，

∴BA=BG，

∵AE⊥l，CD⊥l，

∴CD∥AE，

∴△GCD∽△GAE，

∴；

（3）①如圖4，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，過(guò)C作CG∥l交AE于H，交AB于G，

∴∠DBC=∠HCB，

∵∠DBC=∠CBF，

∴∠CBF=∠HCB，

∴CG=BG，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAG+∠CBF=∠HCB+∠ACG=90°，

∴∠ACG=∠CAG，

∴CG=AG=BG，

∵CG∥l，

∴△CFG∽△EFB，

∴，

設(shè)CG=5x，BE=6x，

則AB=10x，

∵∠AEB=90°，

∴AE=8x，

由（2）得AE=2CD，

∵CD=4，

∴AE=8，

∴x=1，

∴AB=10，BE=6，CG=5，

∵GH∥l，

∴△AGH∽△ABE，

∴，

∴HG=3，

∴CH=CG+HG=8，

∵CG∥l，CD∥AE，

∴四邊形CDEH為平行四邊形，

∴DE=CH=8，

∴BD=DE=BE=2，

②如圖⑤，當(dāng)點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥l交AE于點(diǎn)H，交AB于G，

同理可得CG=5，BH=6，HG=3，

∴DE=CH=CG﹣HG=2，

∴BD=DE+BE=8，

綜上可得BD=2或8．