Question

（1997•武漢）如圖，⊙O₁與⊙O內切于點A，△ABC內接于⊙O，AB、AC分別交⊙O₁于點E和F，BD切⊙O₁于點D，且FD是⊙O₁的直徑，延長FE交BD于點H．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若∠DBC=60°，

DH

HB

=

4

5

，求

AE

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）過點A作兩圓的公切線MN，根據切割線定理可得出∠EFA=∠BCA，繼而可證明結論EF∥BC；
（2）連接DE并延長交BC于點G，DH=4k，則HB=5k，DB=9k，根據∠DBC=60°利用解直角三角形的知識，可得出BG、DG的長度，然后表示出BE的長度，根據

AE

AB

=1-

BE

AB

，即可得出答案．

解答：證明：（1）如圖，過點A作兩圓的公切線MN，
∵∠EFA=∠EAM，∠BCA=∠BAM，
∴∠EFA=∠BCA，
∴EF∥BC．

（2）由條件，不妨設DH=4k，
則HB=5k，DB=9k，
連接DE并延長交BC于點G，
∵DF為⊙O₁的直徑，
∴DE⊥HF，∠DEH=90°，
∵EF∥BC．
∴∠DGB=∠DEH=90°，
∴

EG

DG

=

HB

DB

=

5

9

，
而∠DBG=60°，
∴BG=

1

2

DB=

9

2

k，DG=

3

2

DB=

9 3

2

k，
∴EG=

5

9

DG=

5 3

2

k，
在Rt△BGE中，BE²=BG²+EG²=39k²，
∵BD是⊙O₁的切線，
∴BD²=BE•BA，
∴

BE

AB

=

BE2

BD2

=

39k2

(9k)2

=

13

27

，
∴

AE

AB

=1-

BE

AB

=

14

27

．

點評：本題屬于圓的綜合題，涉及了切割線定理、平行線的判定、勾股定理及切線的性質，考察的知識點較多，解答本題的關鍵是要求同學們熟練掌握所學的定理及性質，對于這樣的綜合性題目，除了要求我們仔細思考之外，更考察我們的靈活運用能力．