Question

如圖：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上（與A、C不重合），Q在BC上．
（1）當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；
（2）當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；
（3）試問：在AB上是否存在一點M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，△CPQ與△CAB的面積比為1：2，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出CP的長；
（2）由于△PQC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可用CP表示出PQ和CQ的長，進而可表示出AP、BQ的長．根據(jù)△CPQ和四邊形ABQP的周長相等，可將相關(guān)的各邊相加，即可求出CP的長；
（3）因為不能確定哪個角是直角，故應(yīng)分類討論．
①當∠MPQ=90°，且PM=PQ時．因為△CPQ∽△CAB，根據(jù)相似三角形邊長的比等于高的比，可求出PQ的值；
②∠PQM=90°時與①相同；
③當∠PMQ=90°，且PM=MQ時，過M作ME⊥PQ，則ME=PQ，根據(jù)相似三角形邊長的比等于高的比，可求出PQ的值．
解答：解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∵S_△PQC=S_{四邊形PABQ}，
∴S_△PQC：S_△ABC=1：2，
∴==，
∴CP=•CA=2；

（2）∵△PQC∽△ABC，
∴==，
∴=，
∴CQ=CP，
同理：PQ=CP，
∴l(xiāng)_△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+CP+CP=3CP，
I_{四邊形PABQ}=PA+AB+BQ+PQ，
=4-CP+AB+3-CQ+PQ
=4-CP+5+3-CP+CP
=12-CP，
∴12-CP=3CP
∴CP=12
∴CP=；

（3）∵AC=4，AB=5，BC=3
∴△ABC中AB邊上的高為
①當∠MPQ=90°，且PM=PQ時，
∵△CPQ∽△CAB
∴=
∴=
∴PQ=
②當∠PQM=90°時與①相同
③當∠PMQ=90°，且PM=MQ時
過M作ME⊥PQ
則ME=PQ
∴△CPQ的高為-ME=-PQ
∴=
∴=
∴PQ=．
綜合①②③可知：點M存在，PQ的長為或．
點評：本題比較復(fù)雜，綜合考查了相似三角形及直角三角形的性質(zhì)，難度較大．