Question

已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．
（1）當PA的長度為

2

時，∠PAB=60°；
（2）當PA的長度為

2

2

或

8 5

5

時，△PAD是等腰三角形；
（3）過點P作PE⊥PC交射線AB于E，延長BP交射線AD于F，試證明：AE=AF．

Answer 1

分析：（1）由AB是直徑，可得∠APB=90°，然后利用三角函數(shù)即可求得PA的長；
（2）當PA=PD、PD=DA時，△PAD是等腰三角形，然后由正方形的性質、勾股定理以及射影定理進行解答；
（3）①如圖3，當點E在直徑AB上運動時．通過相似三角形△PAE∽△PBC的對應邊成比例、△AFP∽△BAP的對應邊成比例分別得到

PA

PB

=

AE

BC

、

PA

PB

=

AF

AB

．因為BC=AB，所以
AE=AF；
②如圖4，當點E在AB的延長線上運動時，證法同上．

解答：解：（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
則在Rt△PAB中，PA=

1

2

AB=2，
∴當PA的長度等于2時，∠PAB=60°；
故答案是：2；

（2）①若△PAD是等腰三角形，當PA=PD時，如圖1，此時P位于正方形ABCD的中心O．
則PD⊥PA，PD=PA，
∴AD²=PD²+PA²=2PA²=16，
∴PA=2

2

；
②當PD=DA時，以點D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點為點P．如圖2
連PD，令AB中點為O，再連DO，PO，DO交AP于點G，
則△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
設AG為2x，OG為x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=

2 5

5

，
∴AG=2x=

4 5

5

，
∴AP=

8 5

5

，
∴當PA的長度等于2

2

或

8 5

5

時，△PAD是等腰三角形；
故答案是：2

2

或

8 5

5

；

（3）證明：①如圖3，當點E在直徑AB上運動時．
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，則∠APE+∠EPB=90°．
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，則∠EPB+∠BPC=90°，
∴∠APE=∠BPC．
同理，∠PAE=∠PBC，
∴△PAE∽△PBC，
∴

PA

PB

=

AE

BC

．
∵△AFP∽△BAP，
∴

PA

PB

=

AF

AB

．
∵BC=AB，
∴AE=AF；
②如圖4，當點E在AB的延長線上運動時，證法同上．

點評：此題考查了正方形的性質，圓周角的性質，相似三角形的判定與性質以及三角函數(shù)的性質等知識．此題綜合性很強，解題時要注意數(shù)形結合與方程思想、分類討論數(shù)學思想的應用．