Question

19．直線y=1與雙曲線y=$\frac{1}{x}$相交于點A₁，與雙曲線y=$\frac{2}{x}$相交于點B₁，直線y=2與雙曲線y=$\frac{1}{x}$相交于點A₂，與雙曲線y=$\frac{2}{x}$相交于點B₂，則四邊形A₁B₁B₂A₂的面積為$\frac{3}{4}$；直線y=n與雙曲線y=$\frac{1}{x}$相交于點A_n，與雙虛線y=$\frac{2}{x}$相交于點B_n，直線y=n+1與雙曲線y=$\frac{1}{x}$相交于點A_n+1，與雙曲線y=$\frac{2}{x}$相交于點B_n+1，則四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．

Answer 1

分析 將y=1和y=2分別代入y=$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$中求出點A₁、B₁、B₂、A₂的坐標(biāo)，由此即可求出線段A₁B₁、A₂B₂的長度，再根據(jù)梯形的面積公式即可得出四邊形A₁B₁B₂A₂的面積，同理可求出四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積．

解答 解：∵直線y=1與雙曲線y=$\frac{1}{x}$相交于點A₁，與雙曲線y=$\frac{2}{x}$相交于點B₁，直線y=2與雙曲線y=$\frac{1}{x}$相交于點A₂，與雙曲線y=$\frac{2}{x}$相交于點B₂，
∴A₁（1，1），B₁（2，1），A₂（$\frac{1}{2}$，2），B₂（1，2）．
∴A₁B₁=2-1=1，A₂B₂=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵直線y=1與直線y=2平行，
∴四邊形A₁B₁B₂A₂為梯形，
∴四邊形A₁B₁B₂A₂的面積=$\frac{1}{2}$（A₁B₁+A₂B₂）×（2-1）=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）×1=$\frac{3}{4}$．
∵直線y=n與雙曲線y=$\frac{1}{x}$相交于點A_n，與雙虛線y=$\frac{2}{x}$相交于點B_n，直線y=n+1與雙曲線y=$\frac{1}{x}$相交于點A_n+1，與雙曲線y=$\frac{2}{x}$相交于點B_n+1，
∴A_n（$\frac{1}{n}$，n），B_n，（$\frac{2}{n}$，n），A_n+1（$\frac{1}{n+1}$，n+1），B_n+1（$\frac{2}{n+1}$，n+1），
∴A_nB_n=$\frac{2}{n}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n}$，A_n+1B_n+1=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$．
∵直線y=n與直線y=n+1平行，
∴四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1為梯形，
∴四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積=$\frac{1}{2}$（A_nB_n+A_n+1B_n+1）×（n+1-n）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）×1=$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$；$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、梯形以及兩點間的距離公式，熟練掌握梯形的面積公式是解題的關(guān)鍵．