Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BC交AD于點(diǎn)F．
（1）猜想ED與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)∠CAB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，則=，依據(jù)垂徑定理可以得到：OD⊥BC，然后根據(jù)直徑的定義，可以得到OD∥AE，從而證得：DE⊥OD，則DE是圓的切線(xiàn)；
（2）首先證明△FBD∽△BAD，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求DF的長(zhǎng)，繼而求得答案．
解答：解：（1）ED與⊙O的位置關(guān)系是相切．理由如下：
連接OD，
∵∠CAB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，
∴=，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴ED與⊙O的位置關(guān)系是相切；

（2）連接BD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
在直角△ABD中，BD===，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
又∵∠AFC=∠BFD，
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD
∴△FBD∽△BAD，
∴=
∴FD=
∴AF=AD-FD=5-=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及切割線(xiàn)定理，把求AF的長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求相似三角形的問(wèn)題是關(guān)鍵．