Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2．對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過(guò)點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N，折痕BM與EF相交于點(diǎn)Q；再次展平，連接BN，MN，延長(zhǎng)MN交BC于點(diǎn)G．有如下結(jié)論：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等邊三角形；⑤P為線(xiàn)段BM上一動(dòng)點(diǎn)，H是BN的中點(diǎn)，則PN+PH的最小值是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：如圖1，連接AN，

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得
AB=BN，
∴AN=AB=BN．
∴△ABN為等邊三角形．
∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，
即結(jié)論①正確；
∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，
∴AM=，
即結(jié)論②不正確．
∵EF∥BC，QN是△MBG的中位線(xiàn)，
∴QN=BG；
∵BG=BM=，
∴QN=，
即結(jié)論③不正確．
∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，
∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，
∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG為等邊三角形，
即結(jié)論④正確．
∵△BMG是等邊三角形，點(diǎn)N是MG的中點(diǎn)，
∴BN⊥MG，∴BN=BGsin60°=，
根據(jù)條件易知E點(diǎn)和H點(diǎn)關(guān)于BM對(duì)稱(chēng)，∴PH=PE，
∴P與Q重合時(shí)，PN+PH的值最小，此時(shí)PN+PH=PN+PE=EN，
∵EN==，
∴PN+PH=，
∴PN+PH的最小值是，
即結(jié)論⑤正確．
故答案為：①④⑤．
①首先根據(jù)EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AB=BN，據(jù)此判斷出△ABN為等邊三角形，即可判斷出∠ABN=60°．
②首先根據(jù)∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根據(jù)AB=2，求出AM的大小即可．
③首先根據(jù)EF∥BC，QN是△MBG的中位線(xiàn)，可得QN=BG；然后根據(jù)BG=BM=，求出QN的長(zhǎng)度即可．
④根據(jù)∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等邊三角形．
⑤首先根據(jù)△BMG是等邊三角形，點(diǎn)N是MG的中點(diǎn)，判斷出BN⊥MG，即可求出BN的大��；然后根據(jù)E點(diǎn)和H點(diǎn)關(guān)于BM稱(chēng)可得PH=PE，因此P與Q重合時(shí)，PN+PH=PN+PE=EN，據(jù)此求出PN+PH的最小值是多少即可．