Question

證明：（y+z-2x）³+（z+x-2y）³+（x+y-2z）³=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．

Answer 1

證明：令y+z-2x=a，①
z+x-2y=b，②
x+y-2z=c，③
則要證的等式變?yōu)?br>a³+b³+c³=3abc．
聯(lián)想到乘法公式：
a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），
∴將①，②，③相加有：a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，
∴a³+b³+c³-3abc=0，
∴（y+z-2x）³+（z+x-2y）³+（x+y-2z）³=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．