Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F、G、H分別是AD、BE、BC、CE的中點．
試探究：
（1）四邊形EFGH的形狀；
（2）若BC=2AD，且梯形ABCD的面積為9，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意ABCD為等腰梯形，得出AB=CD，∠A=∠D，即可得出△ABE≌△DCE，進而得出EF=EH，再根據中位線定理，可以得出GF∥CE，GH∥BE，即可知道EFGH為菱形．
（2）由BE=CE，G為BC中點，可以得出EG⊥BC，根據梯形的面積公式，得到S_梯形=（AD+BC）×EG=9，有BC=2AD，可以得出BC•EG的值，有菱形的面積公式S_菱形EFGH=FH•EG，且FH=BC，即可得出答案．
解答：解：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D（等腰梯形的兩腰相等，在同一底邊上的兩內角相等），
又∵AE=DE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴BE=CE（全等三角形的對應邊相等）．
又∵EF=EB，EH=EC，
∴EF=EH．
∵G、F、H分別是BC、BE、CE的中點，
∴GF∥CE，GH∥BE（三角形中位線定理）．
∴四邊形EFGH是平行四邊形（平行四邊形的定義）．
∴四邊形EFGH是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

（2）∵BE=CE，G為BC中點，
∴EG⊥BC（等腰三角形的三線合一）．
∴EG為梯形ABCD的高．
∵S_梯形=（AD+BC）×EG=9，BC=2AD，
∴（BC+BC）×EG=9，
∴BC•EG=12．
∵F、H分別是BE、CE的中點，
∴FH=BC．
∴S_菱形EFGH=FH•EG=××BC•EG=3．
點評：本題考查了等腰梯形的性質，以及菱形的判定．屬于小型的綜合性試題，要求對每個知識點有很好的掌握．