Question

已知兩直線，分別經(jīng)過點A(1，0)，點B，并且當(dāng)兩直線同時相交于y正半軸的點C時，恰好有，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線交于點K，如圖所示。

(1)求點C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；

(第24題)

(2)拋物線的對稱軸被直線，拋物線，直線和x軸

依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由。

(3)當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標(biāo)。

Answer 1

 (1)解法1：由題意易知：△BOC∽△COA

              ∴，即

              ∴

              ∴點C的坐標(biāo)是(0，)

              由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為

              把A(1，0)，B(，0)的坐標(biāo)分別代入，得

                           

              解這個方程組，得

              ∴拋物線的函數(shù)解析式為

   解法2：由勾股定理，得

           又∵OB=3，OA=1，AB=4

           ∴

            ∴點C的坐標(biāo)是(0，)

            由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，把C(0，)代入

            函數(shù)解析式得

            所以，拋物線的函數(shù)解析式為

(2)解法1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF

          理由如下：

          可求得直線的解析式為，直線的解析式為

          拋物線的對稱軸為直線

          由此可求得點K的坐標(biāo)為(，)，點D的坐標(biāo)為(，)，點E的坐標(biāo)為(，)，點F的坐標(biāo)為(，0)

          ∴KD=，DE=，EF=

          ∴KD=DE=EF

解法2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF

       理由如下：

       由題意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，則可得

       ，，

       由頂點D坐標(biāo)(，)得

       ∴KD=DE=EF=

(3)解法1：(i)以點K為圓心，線段KC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點，由拋物線對稱性可知點為點C關(guān)于直線的對稱點

          ∴點的坐標(biāo)為(，)，此時△為等腰三角形

          (ii)當(dāng)以點C為圓心，線段CK長為半徑畫圓弧時，與拋物線交點為點和點A，而三點A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形

          (iii)作線段KC的中垂線l，由點D是KE的中點，且，可知l經(jīng)過點D，

          ∴KD=DC

          此時，有點即點D坐標(biāo)為(，)，使△為等腰三角形；

          綜上所述，當(dāng)點M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時，△MCK為等腰三角形。

解法2：當(dāng)點M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時，△MCK為等腰三角形。

       理由如下：

       (i)連接BK，交拋物線于點G，易知點G的坐標(biāo)為(，)

       又∵點C的坐標(biāo)為(0，)，則GC∥AB

       ∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形

       ∴△CGK為正三角形

       ∴當(dāng)與拋物線交于點G，即∥AB時，符合題意，此時點的坐標(biāo)為(，)

       (ii)連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形

       ∴當(dāng)過拋物線頂點D時，符合題意，此時點坐標(biāo)為(，)

       (iii)當(dāng)點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，但點

A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形

       綜上所述，當(dāng)點M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時，△MCK為等腰三

角形。