Question

【題目】如圖，已知為的直徑，，點(diǎn)和點(diǎn)是上關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，連接、，且，直線(xiàn)和直線(xiàn)相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，且．

（1）求證：直線(xiàn)為的切線(xiàn)；

（2）若點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，連接，滿(mǎn)足，

①求證：；

②求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②5．

【解析】

（1）由題意可知：∠CAB＝∠GAF，由圓的性質(zhì)可知：∠CAB＝∠OCA，所以∠OCA＝∠GCE，從而可證明直線(xiàn)CG是⊙O的切線(xiàn)；

（2）①由于CB＝CH，所以∠CBH＝∠CHB，易證∠CBH＝∠OCB，從而可證明△CBH∽△OBC；

②由△CBH∽△OBC可知：，所以，由于BC＝HC，所以，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出OH＋HC的最大值．

（1）由題意可知：，

∵是的直徑，

∴

∵

∴，

∴，

∵

∴，

∵是的半徑，

∴直線(xiàn)是的切線(xiàn)；

（2）①∵，

∴，

∵，

∴，

∴

②由可知：

∵，

∴，

∴

∴

∵

∴，

當(dāng)，此時(shí)

∵，

∴，

令,

∴

當(dāng)時(shí)，

∴可取得最大值，最大值為5．