Question

【題目】如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，

（1）請(qǐng)判斷線段AE和BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；

（2）若已知∠AED=135°，設(shè)∠AEC=α，當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，求α的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）AE=BD且AE⊥BD，理由見解析；（2）當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，α的度數(shù)為112.5°、135°或90°．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)和都是等腰直角三角形、即可得出再由角的計(jì)算即可得出利用全等三角形的判定定理SAS即可證出進(jìn)而可得出延長(zhǎng)AE，交CD于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)F，根據(jù)角的計(jì)算即可得出從而找出
（2）根據(jù)是等腰直角三角形即可得出結(jié)合即可找出由可得出進(jìn)而得出再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出分以及三種情況考慮為等腰三角形，代入數(shù)據(jù)求出值，此題得解．

試題解析：(1)AE=BD且AE⊥BD，理由如下：

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,

∴AC=DC，EC=BC.

∴∠ACE=∠DCB.

在△ACE和△DCB中,

∴AE=DB，∠CAE=∠CDB.

延長(zhǎng)AE，交CD于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)F，如圖1所示。

∵∠AHD=∠CHF=∠CDB+∠DFH，∠AHD=∠CAE+∠ACD，

∴AE⊥BD.

(2)∵△BCE是等腰直角三角形,

在△DBE中,

△BDE為等腰三角形分三種情況：

①∠DEB=∠DBE,即

②∠DEB=∠EDB,即

③∠DBE=∠EDB,即

綜上所述：當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí), 的度數(shù)為112.5°、135°或90°．