【題目】如圖,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿AB方向以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿CA方向向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),以PQ為邊作正△PQM(P、Q、M按逆時(shí)針排序),以QC為邊在AC上方作正△QCN,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求cosA的值;
(2)當(dāng)△PQM與△QCN的面積滿足S△PQM=S△QCN時(shí),求t的值;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△PQM的某個(gè)頂點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)落在△QCN的邊上.
【答案】(1)coaA=;(2)當(dāng)t=時(shí),滿足S△PQM=S△QCN;(3)當(dāng)t=s或s時(shí),△PQM的某個(gè)頂點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)落在△QCN的邊上.
【解析】(1)如圖1中,作BE⊥AC于E.利用三角形的面積公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解決問題;
(2)如圖2中,作PH⊥AC于H.利用S△PQM=S△QCN構(gòu)建方程即可解決問題;
(3)分兩種情形①如圖3中,當(dāng)點(diǎn)M落在QN上時(shí),作PH⊥AC于H.②如圖4中,當(dāng)點(diǎn)M在CQ上時(shí),作PH⊥AC于H.分別構(gòu)建方程求解即可;
(1)如圖1中,作BE⊥AC于E.
∵S△ABC=ACBE=,
∴BE=,
在Rt△ABE中,AE=,
∴coaA=.
(2)如圖2中,作PH⊥AC于H.
∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t,
∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2,
∵S△PQM=S△QCN,
∴PQ2=CQ2,
∴9t2+(9-9t)2=×(5t)2,
整理得:5t2-18t+9=0,
解得t=3(舍棄)或.
∴當(dāng)t=時(shí),滿足S△PQM=S△QCN.
(3)①如圖3中,當(dāng)點(diǎn)M落在QN上時(shí),作PH⊥AC于H.
易知:PM∥AC,
∴∠MPQ=∠PQH=60°,
∴PH=HQ,
∴3t=(9-9t),
∴t=.
②如圖4中,當(dāng)點(diǎn)M在CQ上時(shí),作PH⊥AC于H.
同法可得PH=QH,
∴3t=(9t-9),
∴t=,
綜上所述,當(dāng)t=s或s時(shí),△PQM的某個(gè)頂點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)落在△QCN的邊上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿射線DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).當(dāng)t為__________ 時(shí),以B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在□ABCD中,O是AC、BD的交點(diǎn),過點(diǎn)O 與AC垂直的直線交邊AD于點(diǎn)E,若□ABCD的周長(zhǎng)為22cm,則△CDE的周長(zhǎng)為( ).
A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)P在邊AB上,∠CPB的平分線交邊BC于點(diǎn)D,DE⊥CP于點(diǎn)E,DF⊥AB于點(diǎn)F.當(dāng)△PED與△BFD的面積相等時(shí),BP的值為( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,BD為內(nèi)角平分線,CE為外角平分線,若∠BDC=130°,∠E=50°,則∠BAC的度數(shù)為__________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn).若△PAD與△PBC是相似三角形,則滿足條件的點(diǎn)P有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=AC,D是AC上一點(diǎn),AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E,AE=BD,且DF⊥AB于F,求證:CD=DF
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)延長(zhǎng)AC至E,使CE=AC,試說明DA=DE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,直線相交于點(diǎn).
(1)若∠AOC=35°,求的度數(shù);
(2)若∠BOD:∠BOC=2:4,求的度數(shù);
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)作,求的度數(shù).
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