Question

（1）如圖1，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（2）拓展延伸：如圖2，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

【答案】分析：（1）先作B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，求出∠AOE=90°，求出△AOE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出AE，即可求出答案；
（2）作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接DE并延長，即可得出答案．
解答：解：（1）作B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，則E正好在圓周上，
連接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，
則AP+BP最短，
∵∠AOD=60°，B為弧AD中點(diǎn)，
∴弧AB=弧BD，且弧AB的度數(shù)是30°，
∴∠AEB=15°（圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半），
∵B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)是E，
∴弧BE的度數(shù)是60°，
∴∠AOE=90°，
∵OA=OE（都是半徑），
∴△OAE是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AE=2．

（2）如圖所示：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE并延長交AC于P即可，
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題、勾股定理、作圖與基本作圖等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找出P點(diǎn)，題型較好，難度較大，對(duì)學(xué)生有較高的要求．