Question

已知拋物線的形狀與拋物線y=-

2

3

x2相同，且對稱軸為x=-

7

2

，交x軸于A、D兩點（A在D左邊），交y軸于B（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），E為拋物線上在第二象限的點，連OE、AE，將線段OE沿射線EA平移，使E與A對應(yīng)，O與C對應(yīng)，設(shè)四邊形OEAC的面積為S，問是否存在這樣的點E，使S=24？若存在，請求出E點坐標，并進一步判斷此時四邊形OEAC的形狀；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)E（x_E，y_E），C（x_C，y_C），當E點在拋物線上運動時，下列兩個結(jié)論：①|(zhì)x_E|+|x_C|的值不變；②|y_E|+|y_C|的值不變，有且只有一個正確，請判斷正確的結(jié)論并證明求值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)出函數(shù)頂點式，將B（0，-4）代入解析式即可；
（2）假設(shè)存在這樣的點，根據(jù)S=24得到S_?OECA=2•S_△AEO=24，即S_△AEO=12，然后將坐標代入求解即可．
（3）過E作 EM⊥AO于M，過C作CN⊥AO于N，將OM+ON轉(zhuǎn)化為AN+ON=OA=6即可解答．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=-

2

3

（x+

7

2

）²+c，
將B（0，-4）代入解析式得，-4=-

2

3

（0+

7

2

）²+c，
解得，c=

25

6

，
函數(shù)解析式為y=-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

；

（2）依題意知OE平行且等于AC，
∴四邊形OEAC為平行四邊形，
又∵OA為平行四邊形OEAC的對角線，
∴S_?OECA=2•S_△AEO=24，即S_△AEO=12，
∴

1

2

•OA•|y_E|=12，
又∵A（-6，0），OA=6，
y_E=-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

，
∴

1

2

×6×[-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

]=12，
解得，x₁=-3，x₂=-4，
∴E₁（-3，4）或E₂（-4，4），
∴這樣的點有兩個．
當E₁（-3，4）時，有AE=OE，此時平行四邊形為菱形
當E₂（-4，4）時，AE≠OE，AE不垂直于OE，此時四邊形OEAC為平行四邊形；

（3）|x_E|+|x_C|的值不變，|x_E|+|x_C|=6，
證明：過E作EM⊥AO于M，過C作CN⊥AO于N，

則|x_E|=OM，|x_C|=ON，
∵四邊形OEAC是平行四邊形，
∴OE∥AC，OE=AC，
∴△EMO≌△CNA，
∴OM=AN，
∴OM+ON=AN+ON=OA=6，即|x_E|+|x_C|=6．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，對于存在性問題，先假設(shè)其存在，然后求解，若能的出結(jié)果，則存在，否則不存在．