Question

求證：直角三角形的內(nèi)接三角形的周長不小于斜邊上的高的2倍                                        

Answer 1

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P，Q，R分別是AB，BC，CA上的點(diǎn)，CD⊥AB于D，
求證：PQ+QR+RP≥2CD．
證明：作△ABC關(guān)于BC的軸對(duì)稱圖形△EBC，P，Q，R的對(duì)稱點(diǎn)分別是S，Q，V．
CD的對(duì)稱線段是CK．
再作△EBC關(guān)于CE的軸對(duì)稱圖形△EHC，S，Q，V的對(duì)稱點(diǎn)分別是T，U，V，
CK的對(duì)稱線段是CG．
于是QR=QV，PR=SV=TV，CD=CK=CG，CG⊥EH．
連接AH，顯然四邊形ABEH是平行四邊形，
AB∥EH，而CD⊥AB，CG⊥EH，所以D，C，G在一條直線上
所以PQ+QR+RP=PQ+QV+VT≥DG=2CD．
分析：可通過輔助線作出關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱圖形，如圖所示，進(jìn)而得出四邊形ABEH是平行四邊形，再由三角形的三邊關(guān)系可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形的變化問題，能夠通過作輔助線解決一些簡(jiǎn)單的問題．