(2009•懷柔區(qū)一模)如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合),如圖2,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為______,數(shù)量關(guān)系為______;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時,如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?

(2)①如果AB=AC,∠BAC≠90°,點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動.在圖4中同樣作出正方形ADEF,你發(fā)現(xiàn)(1)問中的結(jié)論是否成立?不用說明理由;
②如果∠BAC=90°,AB≠AC,點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動.在圖5中同樣作出正方形ADEF,你發(fā)現(xiàn)(1)問中的結(jié)論是否成立?不用說明理由;

(3)要使(1)問中CF⊥BC的結(jié)論成立,試探究:△ABC應(yīng)滿足的一個條件,(點(diǎn)C、F重合除外)畫出相應(yīng)圖形(畫圖不寫作法),并說明理由;
(4)在(3)問的條件下,設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P,設(shè)AC=,BC=,求線段CP長的最大值.
【答案】分析:(1)當(dāng)CF與BD位置關(guān)系為互相垂直,數(shù)量關(guān)系是相等.首先證明△DAB≌△FAC,然后推出∠ACF=45°,∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,求出CF⊥BD;
(2)根據(jù)題意畫出圖形來理解.學(xué)會數(shù)形結(jié)合解答問題.
(3)過點(diǎn)A作AG⊥AC,證明△GAD≌△CAF后可證得CF⊥BD;
(4)作AQ⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)Q,利用勾股定理求出AQ=CQ=2,證明△AQD∽△DCP,利用線段比求出CP的值.
解答:解:(1)①CF與BD位置關(guān)系是垂直、數(shù)量關(guān)系是相等;(1分)

②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立(如圖3).
由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,∴∠ACF=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.(3分)
(2)①畫出圖形(如圖4),判斷:(1)中的結(jié)論不成立.

②畫出圖形(如圖5),判斷:(1)中的結(jié)論不成立.(4分)

(3)當(dāng)∠BCA=45°時,CF⊥BD(如圖6).
理由是:過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G,
∴AC=AG.
∵∠BCA=45°,
∴∠AGD=45°,
∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°.
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD.(5分)

(4)當(dāng)具備∠BCA=45°時,
過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)Q,(如圖7),
∵DE與CF交于點(diǎn)P時,此時點(diǎn)D位于線段CQ上,
∵∠BCA=45°,AC=,
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2.
設(shè)CD=x,∴DQ=2-x,
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°,
∴∠ADQ+∠PDC=90°,
又∵在直角△PCD中,∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC,
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP,
,∴
∴CP=-x2+x=-(x-1)2+.(7分)
∵0<x≤,
∴當(dāng)x=1時,CP有最大值.(8分)
點(diǎn)評:本題綜合考查的是相似三角形的判定,勾股定理,正方形的性質(zhì)等有關(guān)知識.
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(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)該拋物線與y軸相交于點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合),若S△ABC=S△ACP,求滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn),試判斷:PA+PB與AC+BC的大小關(guān)系,并說明理由.

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(1)試判斷CD與AC的位置關(guān)系,并證明;
(2)若△ACB∽△CDB,且AC=3,求圓心O到直線AB的距離.

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