Question

（2009•懷柔區(qū)一模）把直線(xiàn)y=-2x+2沿x軸翻折恰好與拋物線(xiàn)y=ax²+bx+2交于點(diǎn)C（1，0）和點(diǎn)A（8，m）．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)該拋物線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合），若S_△ABC=S_△ACP，求滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn)，試判斷：PA+PB與AC+BC的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線(xiàn)y=-2x+2沿x軸翻折，那么新直線(xiàn)的斜率與原直線(xiàn)的斜率正好互為相反數(shù)，根據(jù)得出的直線(xiàn)的解析式可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中即可求得二次函數(shù)的解析式．
（2）先求出三角形ABC的面積，然后根據(jù)三角形ABC和三角形APC的面積相等，求出PC的長(zhǎng)，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）本題要分情況討論：
①當(dāng)P、C重合時(shí)，PA+PB=AC+BC；
②當(dāng)P、C不重合時(shí)，可找出B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（其實(shí)此點(diǎn)就是直線(xiàn)AC與y軸的交點(diǎn)）E，然后連接AE，此時(shí)發(fā)現(xiàn)AE正好過(guò)C點(diǎn)，因此AC+BC=AE，連接PB、PE，那么PA+PB=PA+PE，在三角形PAE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出PA+PE＞PE，因此PA+PB＞AC+BC．
綜上所述即可得出所求的結(jié)論（主要根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短來(lái)求解）．
解答：解：（1）依題意，直線(xiàn)y=-2x+2沿x軸翻折所得到的解析式為y=2x-2
又∵直線(xiàn)y=2x-2過(guò)點(diǎn)A（8，m），
∴m=14．即點(diǎn)A（8，14），
又拋物線(xiàn)y=ax²+bx+2過(guò)點(diǎn)C（1，0）和點(diǎn)A（8，14），
a+b+2=0，64a+8b+2=14，
∴a=，b=，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-x+2．

（2）如圖1，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，0），
則S_△ACP=•PC•12=|x-1|•14，
又∵S_△ABC=S_梯形ABOF-S_△BOC-S_△ACF
=（2+14）•8-•1•2-•7•14
=14．
∵S_△ABC=S_△ACP，
∴|x-1|•14=14
∴x₁=3，x₂=-1，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，0）或（-1，0）．

（3）如圖2，結(jié)論：PA+PB≥AC+BC．
理由是：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，有PA+PB=AC+BC．
②當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)C時(shí)，
∵直線(xiàn)AC的解析式為y=2x-2，
∴直線(xiàn)AC與y軸相交于點(diǎn)E（0，-2）．
則點(diǎn)E（0，-2）與B（0，2）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴BC=EC，連接PE，則PE=PB．
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE，
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC．
綜上所得AP+BP≥AC+BC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、軸對(duì)稱(chēng)圖形等知識(shí)點(diǎn)．