Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，如圖．試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：

AE DB(填“＞”，“＜”或“＝”)．

圖1 圖2

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE DB(填“＞”，“＜”或“＝”)．

理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F.

(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果)．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，過(guò)程見(jiàn)解析；（3）CD的長(zhǎng)是1或3．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，即可得出CE⊥AB，進(jìn)而得出∠ECB=∠D=∠DEB=30°，即可得出線段AE與DB的大小關(guān)系；

（2）首先得出BE=CF，進(jìn)而得出∠EDB=∠ECB，∠BED=∠FCE，進(jìn)而利用△DBE≌△EFC即可得出答案；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，D在線段BC的延長(zhǎng)線上；②當(dāng)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，D在線段CB的延長(zhǎng)線上.

試題解析：（1）∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

∴∠ABC=60°，CE⊥AB，

∴AE=BE，

∴∠ECB=∠D=∠DEB=30°，

∴AE=DB，

故答案為：=；

（2） 在等邊△ABC中，

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

∴AE=AF=EF，

∴AB-AE=AC-AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC(SAS)

∴DB=EF，

∴AE=BD，

故答案為：=；

（3）CD的長(zhǎng)是1或3．

參考做法如下：

當(dāng)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1所示，

過(guò)E作EF⊥BD，垂足為F點(diǎn)，可得∠EFB=90°，

∵EC=ED，∴F為CD的中點(diǎn)，即CF=DF=CD，

∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，

∴∠BEF=30°，

∵BE=AB+AE=1+2=3，

∴FB=EB=，

∴CF=FB-BC=，

則CD=2CF=1；

當(dāng)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，

過(guò)E作EF⊥BD，垂足為F點(diǎn)，可得∠EFC=90°，

∵EC=ED，∴F為CD的中點(diǎn)，即CF=DF=CD，

∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠BEF=30°，

∵BE=AE-AB=2-1=1，

∴FB=BE=，

∴CF=BC+FB=，

則CD=2CF=3，

綜上，CD的值為1或3．

圖1 圖2