Question

【題目】已知和都是等腰直角三角形，，點是的中點，連接，．

（1）當點，分別在和上時，如圖1，試猜想線段和的數量關系，請直接寫出你得到的結論（不要求證明）；

（2）將繞點逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于，小于或等于），如圖2，請問：（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE=BF；（2）（1）中的結論仍然成立，證明見解析

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質，通過證明三角形全等即可得結論；
（2）根據旋轉的性質得角相等，然后證明三角形全等即可得結論．

解：（1）AE=BF．

∵△ABC和△DEF是等腰三角形，D是BC的中點，

∴AD=BD=DC，AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，DE=DF，

在△BDF與△ADE中，

，

∴△BDF≌△ADE（SAS）

∴AE=BF．

（2）（1）中的結論仍然成立．理由如下：
如圖：連接AD，

∵△ABC和△DEF是等腰三角形，D是BC的中點，
∴AD=BD=DC，AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，DE=DF，
根據旋轉的性質，可知
∠CDE=∠ADF，
又∠BDF=90°∠ADF，∠ADE=90°∠CDE，
∴∠BDF=∠ADE
∴△BDF≌△ADE（SAS）
∴BF=AE．