Question

【題目】如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F．
（1）求證：FD2=FBFC；
（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E是Rt△ACD斜邊中點．

∴DE=EA．

∴∠A=∠2．

∵∠1=∠2．

∴∠1=∠A．

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A．

∴∠FDC=∠FBD．

∵∠F是公共角．

∴△FBD∽△FDC．

∴ ．

∴FD2=FBFC

（2）證明：GD⊥EF，

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，

∴DG=GC，

∴∠3=∠4，

由（1）得∠4=∠1，

∴∠3=∠1，

∵∠3+∠5=90°，

∴∠5+∠1=90°，

∴DG⊥EF．

【解析】（1）要求證：FD2=FBFC，只要證明△FBD∽△FDC，從而轉(zhuǎn)化為證明∠FDC=∠FBD；（2）GD與EF垂直，要證DG⊥EF，只要證明∠5+∠1=90°，即轉(zhuǎn)化為證明∠3=∠4即可．
【考點精析】掌握直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．