Question

方程x²+px+q=0的兩根都是非零整數(shù)，且p+q=198，則p=

-202

．

Answer 1

分析：設方程x²+px+q=0的兩非零整數(shù)根分別為x₁，x₂，x₁，≥x₂，利用根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=-p①，x₁x₂=q②，則②-①得，x₁x₂-x₁-x₂=p+q=198，然后變形得到（x₁-1）（x₂-1）=199，利用整數(shù)的性質得到x₁-1=199，x₂-1=1，或x₁-1=-1，x₂-1=-199，從而題目要求得到x₁=200，x₂=2，最后計算出p．

解答：解：設方程x²+px+q=0的兩非零整數(shù)根分別為x₁，x₂，x₁≥x₂，
∴x₁+x₂=-p①，x₁x₂=q②，
②-①得，x₁x₂-x₁-x₂=p+q，
而p+q=198，
∴x₁x₂-x₁-x₂=198，
∴x₁x₂-x₁-x₂+1=199，
∴（x₁-1）（x₂-1）=199，
∴x₁-1=199，x₂-1=1，或x₁-1=-1，x₂-1=-199，
而方程x²+px+q=0的兩根都是非零整數(shù)，
∴x₁=200，x₂=2，
∴p=-（x₁+x₂）=-202．
故答案為：-202．

點評：本題考查了求一元二次方程整數(shù)根的方法：利用根與系數(shù)關系消去未知系數(shù)，得到方程兩個根的關系，然后根據(jù)整數(shù)的性質討論得到方程的整數(shù)根．