Question

【題目】規(guī)定：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現(xiàn)有下列結(jié)論： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若關(guān)于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，則a=±3；
③若關(guān)于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，則拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0）；
④若點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，則關(guān)于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述結(jié)論中正確的有（ ）
A.①②
B.③④
C.②③
D.②④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得 （x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2 ， 或x2≠2x1 ，
∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①錯(cuò)誤；②關(guān)于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴設(shè)x2=2x1 ，
∴x1x2=2x12=2，
∴x1=±1，
當(dāng)x1=1時(shí)，x2=2，
當(dāng)x1=﹣1時(shí)，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正確；③關(guān)于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1 ，
∵拋物線y=ax2﹣6ax+c的對(duì)稱軸是直線x=3，
∴拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0），
故③正確；④∵點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ ，x2=﹣ ，
∴x2=4x1 ，
∴關(guān)于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故選C．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商才能正確解答此題．