Question

如圖二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn)
（1）試確定b、c的值；
（2）求二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）試確定△MCD的形狀．（直接寫出結(jié)果，不用證明）

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：b=-2，c=-3；

（2）∴此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-4），對(duì)稱軸為x=1；

（3）等腰直角三角形．
理由：∵C（0，-3），
∴點(diǎn)D（2，-3），
∵M(jìn)（1，-4），
∴CD=2，CM=，DM=，
∴CD²=CM²+DM²，CM=DM，
∴△MCD的形狀為等腰直角三角形．
分析：（1）由二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，即可將此兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可得到方程組，解此方程組即可求得b、c的值；
（2）由（1）即可求得此二次函數(shù)的解析式，然后利用配方法求得此二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可求得其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意，首先求得點(diǎn)C，D，M的坐標(biāo)，即可求得CD，CM，DM的長(zhǎng)，然后由勾股定理的逆定理，即可確定△MCD是直角三角形，又由CM=DM，即可得△MCD的形狀是等腰直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸的求解方法以及勾股定理的逆定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．