Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，點D在AC上，CD=3cm．P，Q兩點分別從A，C兩點同時出發(fā)，點P沿AC向點C勻速運動，速度為每秒kcm，行完AC全程需8s；點Q沿CB向點B勻速運動，速度為每秒1cm．設運動的時間為xs（0＜x＜8），△DCQ的面積為y₁cm²，△PCQ的面積為y₂cm²．
（1）求y₁與x的函數關系，并在圖2中畫出y₁的圖象；
（2）圖2所示的拋物線是y₂的圖象，頂點坐標為（4，10），求圖1中AB的長；
（3）在圖2中，點G是x軸正半軸上一點（0＜OG＜6），過G作EF垂直于x軸，分別交y₁，y₂于點E，F．
①說出線段EF的長在圖1中所表示的幾何意義；
②P，Q兩點在運動過程中，△PDQ的面積是否存在最大值？若存在，請求出點Q運動的時間和△PDQ的最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了CD=3cm，根據Q點的速度可以用時間x表示出CQ的長，可根據三角形的面積計算公式得出y₁，x的函數關系式；
（2）可先求出y₂的函數式，然后根據其頂點坐標來確定k的取值．已知了P點走完AC用時8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根據三角形的面積公式列出關于y₂，x的函數關系式，進而可根據頂點坐標求出k的值；
（3）EF其實就是y₂-y₁，也就是△PCQ和△CDQ的面積差即△PDQ的面積．得出EF的函數關系式后，根據自變量的取值以及函數的性質即可求出△PDQ的最大值．

解答：解：（1）∵S_△DCQ=

1

2

•CQ•CD，CD=3cm，CQ=xcm，
∴y₁=

3

2

x．圖象如圖所示；

（2）S_△PCQ=

1

2

•CQ•CP，CP=（8k-xk）cm，CQ=xcm，
∴y₂=

1

2

×（8k-kx）•x=-

1

2

kx²+4kx．
∵拋物線頂點坐標是（4，10），
∴-

1

2

k•4²+4k•4=10．
解得k=

5

4

．
則點P的速度每秒

5

4

cm，
∴AC=

5

4

×8=10cm，BC=8cm，
∴AB=

AC2+BC2

=2

41

（cm）；

（3）①觀察圖象，知線段的長EF=y₂-y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）．
②存在．
理由：由（2）得y₂=-

5

8

x²+5x．
∴S_△PDQ=EF=-

5

8

x²+5x-

3

2

x=-

5

8

x²+

7

2

x，
∵二次項系數小于0，
∴在0＜x＜6范圍，
當x=-

7 2

2×(- 5 8 )

=

14

5

時，S_△PDQ最大，S_△PDQ=

49

10

．

點評：本題是一道涉及二次函數、一次函數、三角形的有關知識且包含動點問題的綜合題．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．