Question

如圖，已知直角梯形紙片OABC中，兩底邊AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=

3

．點(diǎn)T在線段AO上（不與線段端點(diǎn)重合），將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上（記為點(diǎn)A′，折痕經(jīng)過點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)OT=t，折疊后紙片重疊部分（圖中的陰影部分）的面積為S．
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍；
（4）S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過B作AO的垂線那么得出的銳角的正切值就應(yīng)該是上下底的差除以O(shè)C的長，正好可得出這個(gè)銳角應(yīng)是30°，那么∠BAT的度數(shù)就應(yīng)該是60°；
（2）由（1）得出的∠BAO的60°，以及折疊得到的AT=A′T，那么三角形A′AT是等邊三角形，且三邊長均為5-t．求面積就要有底邊和高，我們可以AA′為高，那么PT就是高，AA′=5-t，那么關(guān)鍵是PT的值，已知了∠BAT的度數(shù)，我們可以用AT的長以及∠BAT的正弦函數(shù)表示出PT的長，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)重疊部分是四邊形時(shí)，那么此時(shí)A′應(yīng)該在AB的延長線上，那么此時(shí)AA′的最小值應(yīng)該是AB的長即2，最大的值應(yīng)該是當(dāng)P與B重合時(shí)AA′的值即4，由于三角形ATA′是個(gè)等邊三角形，那么AT的取值范圍就是2＜AT＜4，那么t的取值就應(yīng)是1＜t＜3；
（4）可分成三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)A′在AB上時(shí)，即當(dāng)3≤t＜5時(shí)，可根據(jù)（2）的函數(shù)來求出此時(shí)S的最大值．
②當(dāng)A′在AB延長線上但P在AB上時(shí)，即當(dāng)1≤t＜3時(shí)，此時(shí)重合部分的面積=三角形AA′T的面積-上面的小三角形的面積，根據(jù)AT和AB的長，我們可得出A′B的長，然后按（2）的方法即可得出上面的小三角形的面積，也就可以求出重合部分的面積；
③當(dāng)A′在AB延長線上且P也在AB延長線上時(shí)，即當(dāng)0＜t＜1時(shí)，重合部分的面積就是三角形EFT的面積（其中E是TA′與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TA與CB的交點(diǎn)）那么關(guān)鍵是求出BF，BE的值，知道了AT的長，也就知道了AP、A′P的長，根據(jù)AB=2我們不難得出BP的長，有了BP的長就可以求出A′B、BE的長，在直角三角形BPE中，可根據(jù)∠PBF的度數(shù)，和BP的長，來表示出BF的長，這樣我們就能表示出EF的長了，又知道EF邊上的高是OC的長，因此可根據(jù)三角形的面積來求出S的值．
然后綜合三種情況判斷出是否有S的最大值．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥OA，垂足為E，可得AE=OA-OE=1，tanA=

3

，
∴∠OAB=60°；（2分）
（2）當(dāng)點(diǎn)A在線段AB上時(shí)，
∵∠OAB=60°，TA=TA′，
∴△A′TA是等邊三角形，且TP⊥AB，TA=5-t，
∴S_△ATP=

1

2

S_△ATA=

1

2

•

3

4

（5-t）²=

3

8

（5-t）²，（3≤t＜5）；
（3）當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，因△A′TA是等邊三角形，所以2＜AT＜4，從而1＜t＜3；
（4）S存在最大值．
①當(dāng)3≤t＜5時(shí)，S=

3

8

（5-t）²，在對(duì)稱軸t=5的左邊，S的值隨t的增大而減小，當(dāng)t=3時(shí)，S的值最大是

3

2

；（8分）

②當(dāng)1≤t＜3時(shí)，重疊部分的面積S=

3

8

（5-t）²-

3

4

（3-t）²=-

3

8

（t-1）²+

3

；
當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為

3

；

③當(dāng)0＜t≤1時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)A′和點(diǎn)P都在線段AB的延長線上（其中E是TA′與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TA與CB的交點(diǎn)），
此時(shí)重疊部分的面積是三角形EFT的面積，AP=

1

2

AT=

5-t

2

，BP=AP-AB=

1-t

2

，
AB=AP+BP=

5-t

2

+

1-t

2

=3-t，因?yàn)槿�角形ABE是等邊三角形，因此，
BE=AB=3-t，在直角三角形BPF中，PF=2BP=1-t，因此EF=BE-BF=3-t-（1-t）=2，
因此S=

1

2

×2×

3

=

3

．

綜上所述，當(dāng)t=1時(shí)，S存在最大值，最大值是

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角梯形，等邊三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，弄清楚等邊三角形中各邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．