如圖,已知矩形OABC的兩邊OA,OC分別在x軸,y軸的正半軸上,且點B(4,3),反比例函數(shù)精英家教網(wǎng)y=
kx
圖象與BC交于點D,與AB交于點E,其中D(1,3).
(1)求反比例函數(shù)的解析式及E點的坐標(biāo);
(2)若矩形OABC對角線的交點為F,請判斷點F是否在此反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.
(3)若AD與BO的交點為Q,請判斷點Q是否在此反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.
分析:(1)把已知點代入反比例函數(shù)的解析式,求出其解析式;再進一步把x=4代入,從而求出E點的坐標(biāo).
(2)利用矩形及相似三角形的性質(zhì),判斷出F點與反比例函數(shù)圖象的關(guān)系.
(3)分別求直線BO與AD解析式,求出交點即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)把D(1,3)代入y=
k
x
,得3=
k
1
,
∴k=3.
∴y=
3
x

∴當(dāng)x=4時,y=
3
4
,
∴E(4,
3
4
).

(2)點F在反比例函數(shù)的圖象上.
理由如下:
連接AC,OB交于點F,過F作FH⊥x軸于H.
∵四邊形OABC是矩形,
∴OF=FB=
1
2
OB.
又∵∠FHO=∠BAO=90°,∠FOH=∠BOA,
∴△OFH∽△OBA.
OH
OA
=
FH
BA
=
OF
OB
=
1
2
,
∴OH=2,F(xiàn)H=
3
2

∴F(2,
3
2
).
即當(dāng)x=2時,y=
3
x
=
3
2
,
∴點F在反比例函數(shù)y=
3
x
的圖象上.

(3)直線OB與AD所在直線分別為:
y=kx,圖象過(4,3)點,∴y=
3
4
x,
y=ax+b.過點(4,0),(1,3),
a+b=3
4a+b=0
,
解得:
a=-1
b=4
,
∴y=-x+4,
y=
3
4
x
y=-x+4

解得:x=
16
7
,y=
12
7
,
代入解析式:
當(dāng)x=
16
7
時,y=
3
x
=
21
16
,
∴(
16
7
,
12
7
)不在此反比例函數(shù)的圖象上.
點評:此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用,此題比較復(fù)雜,把反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合,考查了學(xué)生對所學(xué)知識的綜合運用能力.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知:正△OAB的面積為4
3
,雙曲線y=
k
x
經(jīng)過點B,點P(m,n)(m>0)在雙曲線y=
k
x
上,PC⊥x軸于點C,PD⊥y軸于點D,設(shè)矩形OCPD與正△OAB不重疊部分的面積為S.
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(1)求證:△OAB∽△EDA;                               

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如圖,已知OAOB,OA=4,OB=3,以AB為邊作矩形ABCD,使AD,過點DDE垂直OA的延長線且交于點E.(1)求證:△OAB∽△EDA;

(2)當(dāng)為何值時,△OAB與△EDA全等?請說明理由;并求出此時BD兩點的距離.

 

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