Question

在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中．
（1）如圖1，如果N是AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，連接DF，CN．
①求證：DF=CN；
②連接AC．求DH：HE：EF的值；
（2）如圖2，如果點(diǎn)E、M分別是線段AC、CD上的動點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以

2

cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（t＞0），連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N．判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
②利用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形面積公式分別求出DH，EF，DF的長，進(jìn)而得出EH的長，即可得出DH：HE：EF的值；
（2）首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t=

1

3

a，進(jìn)而得到CM=

1

3

a=

1

3

CD，所以該命題為真命題．

解答：（1）①證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN，
在△ADF與△DNC中，

∠DAF=∠CDN=90° AD=CD ∠ADF=∠DCN

，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN；

②解：∵AD=CD=AB=a，N，F(xiàn)分別是AD，AB中點(diǎn)，
∴DN=AF=

a

2

，
∴DF=

5

2

a，
∵AF∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴

EF

DE

=

AF

CD

=

1

2

，
∴

EF

DF

=

1

3

，
∴EF=

5

6

a，
∵DH×CN=DN×CD，
∴DH=

DN×CD

NC

=

1 2 a×a

5 2 a

=

5

5

a，
∴EH=

5

2

a-

5

6

a-

5

5

a=

2 5

15

a，
∴DH：HE：EF=

5

5

a：

2 5

15

a：

5

6

a=6：4：5；

（2）解：該命題是真命題．
理由如下：當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時，則AF=

1

2

AB=

1

2

CD．
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴

AE

EC

=

AF

CD

=

1

2

，
∴AE=

1

2

EC，則AE=

1

3

AC=

2

3

a，
∴t=

AE

2

=

1

3

a．
則CM=1•t=

1

3

a=

1

3

CD，
∴點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題主要考查了幾何綜合題和相似三角形、全等三角形、正方形、命題證明等知識點(diǎn)．解題要點(diǎn)是：（1）明確動點(diǎn)的運(yùn)動過程；（2）明確運(yùn)動過程中，各組成線段、三角形之間的關(guān)系．