Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，1），直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，

13

4

），B點(diǎn)在y軸上，直線與x軸的交點(diǎn)為F，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn)．
（1）求k，m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△BOF相似？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知頂點(diǎn)C（1，1），設(shè)拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²+1，將A(

5

2

，

13

4

)代入可求拋物線解析式，從而可得B點(diǎn)坐標(biāo)，已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線y=kx+m的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，代入可求k，m的值；
（2）點(diǎn)P在直線y=

1

2

x+2故P（x，

1

2

x+2），點(diǎn)E在拋物線y=x²-2x+2上，故E（x，x²-2x+2），∴h=PE=h=

1

2

x+2-（x-1）²-1．又P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），∴0＜x＜

5

2

；
（3）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠DPE只可能是銳角或鈍角，故直角頂點(diǎn)只有兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系，即O對(duì)D，O對(duì)E，分兩種情況，寫(xiě)成相似比，即△PDE∽△BOF，△PED∽△BOF，分別求解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+1
∵A(

5

2

，

13

4

)在拋物線上
∴

13

4

=a（

5

2

-1）²+1
∴a=1
∴二次函數(shù)解析式為y=（x-1）²+1（或y=x²-2x+2）
令x=0得：y=2
即B（0，2）在y=kx+m上
∴m=2
把(

5

2

，

13

4

)代入y=kx+2，
得k=

1

2

；

（2）h=

1

2

x+2-（x-1）²-1
=-x²+

5

2

x（0＜x＜

5

2

）；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，①當(dāng)∠PED=∠BOF=90°時(shí)，由題意可得△PED∽△BOF
則

-x2+ 5 2 x

2

=

x-1

4

∴x=

2± 6

2

，
∵0＜x＜

5

2

，
∴x=

2- 6

2

（舍去）
而x=

2+ 6

2

＜

5

2

∴存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(

2+ 6

2

，

10+ 6

4

)
②當(dāng)∠PDE=∠BOF=90°時(shí)，
過(guò)點(diǎn)E作EK垂直于拋物線的對(duì)稱軸，垂足為K．
由題意可得：△PDE∽△EKD，△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF
則

5 2 -(x2-2x+2)

4

=

x-1

2

∴x=±

10

2

．
∵0＜x＜

5

2

，x=-

10

2

舍去
而x=

10

2

＜

5

2

，
∴存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(

10

2

，

8+ 10

4

)
綜上所述存在點(diǎn)P滿足條件，其坐標(biāo)為
(

2+ 6

2

，

10+ 6

4

)，(

10

2

，

8+ 10

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法，用坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)，及相似條件的探求，具有較強(qiáng)的綜合性．