Question

把一條12個(gè)單位長(zhǎng)度的線段分成三條線段，其中一條線段長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，另兩條線段長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度的整數(shù)倍.
（1）不同分法得到的三條線段能組成多少個(gè)不全等的三角形？用尺規(guī)作出這些三角形（用給定的單位長(zhǎng)度，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求出（1）中所作三角形外接圓的周長(zhǎng).

Answer 1

（1）能組成2個(gè)不全等的三角形，作圖見解析；（2）和.

試題分析：（1）用列舉法得出所有不同分法的分法，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出能組成不全等的三角形的個(gè)數(shù)，應(yīng)用尺規(guī)作圖.
（2）由勾股定理逆定理知，3，4，5構(gòu)成三角形是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊 一半的性質(zhì)，知3，4，5構(gòu)成三角形的外接圓直徑等于5，從而根據(jù)周長(zhǎng)公式求解；對(duì)4，4，4構(gòu)成三角形是等邊三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值求解即可.
試題解析：（1）∵把一條12個(gè)單位長(zhǎng)度的線段分成三條線段，其中一條線段長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，另兩條線段長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度的整數(shù)倍，
∴不同分法的分法有：1，4，7；2，4，6；3，4，5；4，4，4.
∴能組成2個(gè)不全等的三角形：3，4，5；4，4，4.
作圖如下：

（2）對(duì)于3，4，5構(gòu)成的三角形，由勾股定理逆定理知，它是直角三角形，所以它的外接圓直徑等于5.
∴它的三角形外接圓的周長(zhǎng)為.
對(duì)于4，4，4構(gòu)成的三角形，如圖，知AH=2，∠OAH=30°，所以它的外接圓半徑等于.
∴它的三角形外接圓的周長(zhǎng)為.