Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4.

（1）探究m滿(mǎn)足什么條件時(shí)，二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（2）設(shè)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），且+=5，與y軸的交點(diǎn)為C，它的頂點(diǎn)為M，求直線(xiàn)CM的解析式.

Answer 1

解：（1）令y=0，得：x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0

△=（2m-1）²-4（m²+3m+4）=-16m-15

當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即-16m-15＞0

∴m＜-

此時(shí)，y的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即-16m-15=0

∴m=-

此時(shí)，y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即-16m-15＜0

∴m＞-

此時(shí)，y的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

∴當(dāng)m＜-時(shí)，y的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)m=-時(shí)，y的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)m＞-時(shí)，y的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

（評(píng)分時(shí)，考生未作結(jié)論不扣分）

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m²+3m+4

+=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m-1）²-2（m²+3m+4）=2m²-10m-7

∵+=5，∴2m²-10m-7=5，∴m²-5m-6=0

解得：m₁=6，m₂=-1

∵m＜-，∴m=-1

∴y=x²+3x+2

令x=0，得y=2，∴二次函數(shù)y的圖象與y軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2）

又y=x²+3x+2=（x+）²-，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，-）

設(shè)過(guò)C（0，2）與M（-，-）的直線(xiàn)解析式為y=kx+b

則2=b                     k=

-=k+b，b=2

∴所求的解析式為y=x+2