Question

（2013•麗水）如圖，已知拋物線y=

1

2

x²+bx與直線y=2x交于點(diǎn)O（0，0），A（a，12）．點(diǎn)B是拋物線上O，A之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點(diǎn)C，E．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，求BC的長(zhǎng)；
（3）以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），求出m，n之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式求出a的值，繼而將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b的值，繼而得出拋物線解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，繼而可求出BC的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出m，n之間的關(guān)系式．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（a，12）在直線y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵點(diǎn)A是拋物線y=

1

2

x²+bx上的一點(diǎn)，
將點(diǎn)A（6，12）代入y=

1

2

x²+bx，可得b=-1，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-x．

（2）∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，6），
把y=6代入y=

1

2

x²-x，
解得：x₁=1+

13

，x₂=1-

13

（舍去），
故BC=1+

13

-3=

13

-2．

（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，12），
∴直線OA的解析式為：y=2x，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

1

2

n，n），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2m），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

1

2

n，2m），
把點(diǎn)B（

1

2

n，2m）代入y=

1

2

x²-x，可得m=

1

16

n²-

1

4

n，
∴m、n之間的關(guān)系式為m=

1

16

n²-

1

4

n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識(shí)，解答本題需要同學(xué)們能理解矩形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．