Question

【題目】如圖，正方形的邊、在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 ，得到正方形， 交線段于點(diǎn)， 的延長線交線段于點(diǎn)，連結(jié)、．

（1）求證：平分 ；

（2）在正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，求線段、、之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）連結(jié)、、、，在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形是否能在點(diǎn)G滿足一定的條件下成為矩形？若能，試求出直線的解析式；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3） .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)可以得出CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°，根據(jù)全等三角形的判定定理（HL）即可證出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠ DCG=∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；

（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG，可得出BG=DG，根據(jù)直角三角形的判定定理(HL)即可證出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH=HD,再根據(jù)線段間的關(guān)系即可得出 ；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論即可找出當(dāng)G點(diǎn)為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)以及點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由此可得出，根據(jù)勾股定理即可求得 的值，即可得出點(diǎn)H的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)H、G的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求得直線DE的解析式.

試題解析：（1）證明：

∵正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到正方形，

∴， ，

在和中， ，

∴≌ ，

∴ ，

即平分.

（2）由(1)證得： ≌，∴ ，

在和中， ，

∴≌ ，

∴ ，

∴ .

（3）四邊形可為矩形..

當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四邊形為矩形．如圖， ，

由(2)證得： ，又,

則，

∴四邊形為矩形..

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（6,6）,

∴ AB=6，∴,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為..

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

∵， ,

∴， ，

在中， ， ， ，由勾股定理得： ，

解得： ，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)直線的解析式為： ，

又直線過點(diǎn) 、，∴，解得： ，

∴ 直線的解析式為： .