Question

（本題12分）如圖甲，兩個(gè)不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)O.

小題1:（1）在圖甲中，你發(fā)現(xiàn)線段AC、BD的數(shù)量關(guān)系是_______，直線AC、BD相交成____度角；
小題2:（2）將圖甲中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在圖乙中作出旋轉(zhuǎn)后的；
小題3:（3）將圖甲中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖丙，這時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？作出判斷，并說明理由.若繞點(diǎn)O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角度時(shí)，結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由.

Answer 1

小題1:（1）AC=BD，
小題2:（2）略
小題3:（3）成立，證明略.結(jié)論仍然成立

分析：（1）的結(jié)論容易得到，AC=BD，AC與BD相交成90°的角；
（2）△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角應(yīng)該在△COD的右邊；
（3）結(jié)論仍然成立，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到全等條件證明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以證明結(jié)論仍然成立。
解答：
（1）在圖1中，線段AC，BD的數(shù)量關(guān)系是相等，直線AC，BD相交成90度角；
（2）如圖（a）[A，B字母位置互換扣分，無弧扣分，不連接AB扣分]

（3）成立，如右圖
∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，
即：∠COA=∠DOB（或由旋轉(zhuǎn)得∠COA=∠DOB），
∵CO=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB，
∴AC=BD，
延長CA交OD于E，交BD于F，（下面的證法較多）
∵△COA≌△DOB，
∴∠ACO=∠ODB，
∵∠CEO=∠DEF，
∴∠COE=∠EFD=90°，
∴AC⊥BD。
旋轉(zhuǎn)更大角時(shí)，結(jié)論仍然成立。
點(diǎn)評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，學(xué)生要看清是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后畫出圖形，利用圖形的性質(zhì)通過證明三角形全等就可以解決問題。