Question

已知：正六邊形ABCDEF中，頂角∠A、∠C、∠E與∠B、∠D、∠F的和相等，即∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F．
求證：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．

Answer 1

證明：
以BF為軸將△ABF翻折，以BD為軸將△BCD翻折，以DF為軸將△DEF翻折．
因為∠A+∠C+∠E=∠ABC+∠CDE+∠AFE=360°，且AB=BC=CD=DE=EF=FA，

所以翻折后A、C、E落于同一個點O，
所以OB=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB，
所以四邊形ABOF、BCDO、DEFO均為菱形，
所以OB∥CD，DE∥OF，
所以∠BOD+∠ODC=180°，∠FOD+∠ODE=180°，
所以∠CDE=360°-∠BOD-∠FOD=∠BOF=∠BAF．
同理可證，∠ABC=∠E，∠C=∠AFE．
分析：將圖形拆分為△ABF、△BCD、△DEF，翻折后交于點O，由于OB=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB，所以四邊形ABOF、BCDO、DEFO均為菱形，根據菱形的性質即可證出結論．
點評：此題構思巧妙，聯想到翻折變換構造出菱形，利用菱形的性質是解題的關鍵．此題不僅要熟悉多邊形的性質還要熟悉菱形的性質．