Question

如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，CD⊥OA交半圓于點D，點E是的中點，連接AE、OD，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P．
（1）求∠AOD的度數；
（2）求證：PD是半圓O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據CO與DO的數量關系，即可得出∠CDO的度數，進而求出∠AOD的度數；
（2）利用點E是的中點，進而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．
解答：（1）解：∵AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，
∴2CO=DO，∠DCO=90°，
∴∠CDO=30°，
∴∠AOD=60°；

（2）證明：如圖，連接OE，
∵點E是的中點，
∴=，
∵由（1）得∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴∠BOE=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠AFO=90°，
∵DP∥AE，
∴PD⊥OD，
∴直線PD為⊙O的切線．
點評：此題主要考查了垂徑定理以及圓周角定理和切線的判定定理等知識，根據已知得出∠AFO=90°是解題關鍵．