Question

如圖，正方形ABCD中，AB=3，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．下列結論：①點G是BC中點；②FG=FC；③S_△FGC=．
其中正確的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：先求出DE、CE的長，再根據(jù)翻折的性質可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”證明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BG=FG，再設BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=，從而可以判斷①正確；根據(jù)∠AGB的正切值判斷∠AGB≠60°，從而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等邊三角形，F(xiàn)G≠FC，判斷②錯誤；先求出△CGE的面積，再求出EF：FG，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長的比求解即可得到△FGC的面積，判斷③正確．
解答：解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，
∴DE=×3=1，CE=3-1=2，
∵△ADE沿AE對折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=AF=AD，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
設BG=FG=x，則EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，
在Rt△CEG中，EG²=CG²+CE²，
即（1+x）²=（3-x）²+2²，
解得，x=，
∴CG=3-=，
∴BG=CG=，
即點G是BC中點，故①正確；

∵tan∠AGB===2，
∴∠AGB≠60°，
∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等邊三角形，
∴FG≠FC，故②錯誤；

△CGE的面積=CG•CE=××2=，
∵EF：FG=1：=2：3，
∴S_△FGC=×=，故③正確；
綜上所述，正確的結論有①③．
故選B．
點評：本題考查了正方形的性質，翻折變換的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，根據(jù)各邊的熟量關系利用勾股定理列式求出BG=FG的長度是解題的關鍵，也是本題的難點．