Question

如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，能使△QAC的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B，C重合），則是否存在這樣的直線l，使得以B，O，D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解：直線y=-x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴C（0，3），B（3，0），
∴y=-x²+bx+3，
把B（3，0）代入得：b=2，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），
答：拋物線的解析式是y=-x²+2x+3，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4）．

（2）解：根據(jù)對(duì)稱由B（3，0），得到A的坐標(biāo)是（-1，0），
作C關(guān)于對(duì)稱軸（直線x=1）的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD交直線x=1于Q，則Q為符合條件的點(diǎn)，
D的坐標(biāo)是（2，3），
設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，
把A、D的坐標(biāo)代入得：
，
解得：k=1，b=1，
∴y=x+1，把x=1代入得：y=2
∴Q（1，2），
答：Q的坐標(biāo)是（1，2）．

（3）解：存在，
分兩種情況：①AC∥OD，此時(shí)，y=3x，D點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）；
②當(dāng)AC與OD不平行時(shí)，BO：BC=BD：BA，
可求得BD=2，
此時(shí)直線OD的解析式為：y=2x，
D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，2），
答：存在，當(dāng)AC∥OD時(shí)，直線的函數(shù)表達(dá)式是y=3x，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，）；當(dāng)AC與OD不平行時(shí)，直線的函數(shù)表達(dá)式是y=2x，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，2）．
分析：（1）直線y=-x+3，求出當(dāng)x=0時(shí)，y的值和當(dāng)y=0時(shí)，x的值，即可得到C、B的坐標(biāo)，代入即可求出答案；
（2）根據(jù)對(duì)稱由B（3，0），得到A的坐標(biāo)是（-1，0），作C關(guān)于對(duì)稱軸（直線x=1）的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD交直線x=1于Q，則Q為符合條件的點(diǎn)，得到D的坐標(biāo)，設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，把A、D的坐標(biāo)代入求出直線AD，把x=1代入求出y=2即可得到答案；
（3）存在，分兩種情況：①AC∥OD，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出直線和點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)AC與OD不平行時(shí)，根據(jù)BO：BC=BD：BA，求出BD=2，得到直線OD的解析式和D的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的三種形式，相似三角形的性質(zhì)和判定，解二元一次方程組，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．