Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
（1）求證：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四邊形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在△AED和△CFB中，

，

∴△AED≌△CFB （AAS）

（2）解：在Rt△AED中，

∵∠ADE=30°，AE=3，

∴AD=2AE=2×3=6，

∵∠ABC=75°，∠ADB=∠CBD=30°

∴∠ABE=45°，

在Rt△ABE中，

∵ =sin45°，

∴AB= =3 ，

∴平行四邊形ABCD的周長l=2（AB+AD）=2×（6+3 ）=12+6

【解析】（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，可知∠ADE=∠CBD，然后根據(jù)AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，可知∠AED=∠CFB=90°，根據(jù)這三個條件即可證明全等；（2）根據(jù)已知∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，分別在Rt△ABE、Rt△AED中求出AB、AD的長度，即可求出周長．
【考點精析】利用平行四邊形的性質和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．