Question

如圖，小明按下面的方法作∠MON的平分線：
（1）反向延長(zhǎng)射線OM；
（2）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓，分別交∠MON的兩邊于點(diǎn)A，B，交射線OM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)C；
（3）連接OB；
（4）以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為一邊作∠AOP=∠OCB．
（i）根據(jù)上述作圖，射線OP是∠MON的平分線嗎？并說明理由．
（ii）若過點(diǎn)A作⊙O的切線交射線OP于點(diǎn)F，連接AB交OP于點(diǎn)E，當(dāng)∠MON=60°，OF=10時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理結(jié)合作圖方法就可證明；
（2）根據(jù)所給的角的度數(shù)發(fā)現(xiàn)30°的直角三角形和等邊三角形，利用它們的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：（1）射線OP是∠MON的平分線．
∵∠MON和∠3所對(duì)的弧是同弧
∴∠MON=2∠3
又∵∠1=∠3
∠1+∠2=2∠3
∴∠1=∠2=∠3
∴OP是∠MON的平分線

（2）∵AF切于⊙O
∴OA⊥AF
∵∠MON=60°
∴∠1=30°
在Rt△OAF中，cos30°=，且OF=10
∴OA=5
∵OA=OB且∠MON=60°
∴△OAB是等邊三角形
∴
點(diǎn)評(píng)：注意作圖過程中的都是已知條件；綜合運(yùn)用了30°的直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．